Média e desvio padrão
(calculadora)
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Dados: separador decimal: ponto vírgula |
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Média $\overline{x}$: |
$$ \overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i $$ |
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Desvio padrão $\sigma$: |
$$ \sigma = \sqrt{ \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 } $$ |
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Desvio padrão da média $\sigma_m$: |
$$ \sigma_m = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} $$ |
Este aplicativo pode ser utilizado para o cálculo de médias, desvio padrão e desvio padrão da média de um conjunto de dados, bem como para uma visualização básica da distribuição dos dados.
Os dados podem ser digitados ou colados na área acima, à direita, separados por espaços, quebras de linha, tabulações, vírgulas, ou pontos-e-vírgula. O aplicativo assume o ponto (".") como separador decimal, mas você pode alterar esse comportamento selecionando a vírgula (",") como separador decimal (o que obviamente implica que os dados não podem estar separados por vírgulas).
Alguns detalhes para os novatos.
A fórmula para a média é uma representação da média que você faz entre suas notas na escola, exemplo. Se suas notas são 7, 8 e 9. No caso, $N = 3$, $x_1 = 7$, $x_2 = 8$ e $x_3 = 9$. A média fica $\overline{x}$:
$$ \overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3} x_i = \frac{1}{3} (7 + 8 + 9) = \frac{1}{3}(24) = 8 $$A fórmula para o desvio padrão é mais chatinha. Diz que o desvio padrão é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças entre os valores e a média, divididos pelo número de dados menos 1. No caso das notas anteriores o desvio padrão $\sigma$ fica:
$$ \sigma = \sqrt{ \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 } = \sqrt{ \frac{1}{3-1}\left( (7 - 8)^2 + (8 - 8)^2 + (9-8)^2 \right) } = \sqrt{ \frac{1}{2}\left( 2 \right) } = 1 $$Calcular o desvio padrão da média é fácil: basta pegar esse resultado e dividir pela raiz quadrada do número de dados:
$$ \sigma_m = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0{,}577\ldots \simeq 0{,}6 $$Porque um desvio padrão e um desvio padrão da média?
As figuras abaixo mostram quatro "rodadas" distintas, cada uma com 100 "dados" obtidos com um gerador de números aleatórios que obedece uma distribuição gaussiana de média 0 e desvio padrão 1. São mostradas também as respectivas médias, desvios padrão e desvios padrão da média. Note que os desvios padrão da média, em todos os caso, fica em torno de 0,1.
$\overline{x} =$ 0,003, $\sigma =$ 0,942, $\sigma_m =$ 0,094 |
$\overline{x} =$ 0,130, $\sigma =$ 1,013, $\sigma_m =$ 0,101 |
$\overline{x} =$ 0,221, $\sigma =$ 0,980, $\sigma_m =$ 0,098 |
$\overline{x} =$ 0,071, $\sigma =$ 1,084, $\sigma_m =$ 0,108 |
Imagine agora que são feitas 100 "rodadas" distintas, cada uma com 100 dados, e cada uma com sua média e seu desvio padrão. A figura abaixo mostra, em rosa, uma das distribuições de 100 dados e, em verde, a distribuição das médias das distribuições individuais e, sob o gráfico a média das médias e o desvio padrão associado à distribuição de médias que, como esperado, está próximo de 0,1.