Notebook 25
Derivadas

A definição padrão da derivada, encontrada em qualquer livro de cálculo:

\begin{equation} f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{equation}

pode ser diretamente utilizada para o cálculo numérico de derivadas, escolhendo $h$ suficientemente pequeno:

\begin{equation} f'(x) \simeq \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{equation}

Esta implementação é conhecida como a da diferença para frente (forward difference). Obviamente, nada impede que a diferença seja tomada para trás (backward difference):

\begin{equation} f'(x) \simeq \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \end{equation}

Em geral as duas implementações são essencialmente equivalentes. Em alguns casos, como quando existem descontinuidades na derivada ou em condições de contorno peculiares, pode acontecer de uma funcionar e a outra não.

O método da diferença central (central difference) em geral oferece uma precisão substancialmente maior para o mesmo tamanho do passo $h$, apesar de não utilizar o valor da função no ponto $x$:

\begin{equation} f'(x) \simeq \frac{f(x+h/2)-f(x-h/2)}{h} \end{equation}

Esse método requer o conhecimento da função nos pontos $x-h/2$ e $x+h/2$, o que em geral não acontece para dados experimentais amostrados em intervalos regulares. Neste caso, a expressão padrão para o método da diferença central pode ser adaptada para:

\begin{equation} f'(x) \simeq \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{equation}

No caso de valores amostrados, um "mistura" dessas duas últimas fórmulas pode ser interessante. Os pontos na figura abaixo mostram os valores conhecidos da função. Para calcular o valor da derivada em (a) utilizamos a fórmula acima, considerando o intervalo $2h$. Entretanto, é possível calcular o valor da derivada em (b) utilizando a fórmula padrão.

Exercícios

  1. A tabela a seguir mostra medidas simuladas para o potencial elétrico em $N$ = 11 pontos ao longo do eixo $x$, entre $0 \le x \le 2\pi$, a intervalos regulares de largura $h = 2\pi/N$. O campo elétrico é o negativo da derivada desse potencial, $E = -dV/dx$, e o seu valor pode ser calculado utilizando os métodos descritos acima.
    x0,000,631,261,882,513,143,774,405,035,656,28
    V0,000,590,950,950,590,00-0,59-0,95-0,95-0,59-0,00

    A tabela e o gráfico abaixo mostram o campo calculado com os diferentes métodos descritos acima. $E_{fw}$, $E_{bw}$ e $E_{ce}$ correspondem aos campos calculados com os métodos das diferenças para frente, para trás e central, respectivamente.

    Reproduza a tabela e o gráfico.

    x0,000,631,261,882,513,143,774,405,035,656,28
    Efw--0,94-0,58-0,000,580,940,940,580,00-0,58-0,94
    Ebw-0,94-0,58-0,000,580,940,940,580,00-0,58-0,94-
    Ece--0,76-0,290,290,760,940,760,29-0,29-0,76-

    As linhas que passam pelos pontos não representam um modelo para os dados, mas foram adicionadas somente para guiar os olhos (sem as linhas o gráfico fica muito confuso).

    Como os dados foram simulados, sabemos que a derivada usando o método das diferenças centrais é o que melhor aproxima o valor exato do campo. Entretanto, ele não fornece valores para o primeiro e o último ponto onde o potencial foi medido.

    O método das diferenças para frente faz com que o campo calculado fique "atrasado" com relação ao calculado exatamente, enquanto o método das diferenças para trás faz com que fique "adiantado". As condições nas fronteiras também ficam diferentes: o método das diferenças para frente não fornece um valor para o extremo direito, enquanto o método das diferenças para trás não fornece um valor para o extremo esquerdo.

  2. No exercício anterior foram apresentados aos valores do campo calculados utilizando somente o esquema "(a)" da figura sobre o método das diferenças centrais, que aparece no final da introdução. Esse esquema calcula o valor da derivada em um ponto onde o potencial é conhecido a partir dos valores do potencial em pontos vizinhos. O esquema "(b)" calcula o valor do campo em um ponto em que o potencial não é conhecido a partir dos vizinhos. A figura a seguir ilustra o resultado. Reproduza-a.

  3. Considere uma partícula carregada posicionada inicialmente em repouso na origem. A força elétrica sobre a partícula é dada pelo produto entre o valor da carga $q$ e o campo elétrico $\vec{E}$. Calcule numericamente a trajetória da partícula utilizando o método de Euler para integrar a equação diferencial e obtenha os gráficos a seguir.

    Note que para integrar a trajetória é necessário conhecer o valor do campo em pontos arbitrários do espaço. Para obtê-los utilize uma interpolação linear entre os pontos calculados no exercício anterior.

    Como em qualquer modelagem numérica, a "qualidade" do resultado depende do que você precisa. Qual o resultado mais confiável?

    O gráfico a seguir mostra os mesmos cálculos realizados assumindo 1000 pontos para o potencial e um $dt$ dez vezes maior na integração da trajetória. Com esses parâmetros, parece razoável supor que essa é a trajetória da partícula, pois os três métodos concordam.

    Note que, se comparados ao resultado (supostamente) esperado, os parâmetros anteriores fornecem informações potencialmente contraditórias. Se consideramos a posição final, o método das diferenças para frente chega a um resultado mais próximo do esperado do que os demais métodos. Entretando, no meio do caminho o método das diferenças centrais oferece um melhor resultado.

    Em resumo: antes de programar o seu problema, estude-o minuciosamente.

  4. O gráfico a seguir mostra um mapa do potencial elétrico em uma região plana do espaço. Os dados utilizados para produzi-lo pode ser vistos no código-fonte.

    Os gráficos a seguir mostram as componentes $E_x$ e $E_y$ do campo elétrico obtidas utilizando o método das diferenças centrais para calcular o gradiente.

    Reproduza as figuras.

  5. Você consegue calcular a trajetória de uma partícula carregada através desse campo?