O experimento de Geiger-Marsden
e o modelo atômico de Rutherford
(usando PhET Colorado)

Introdução

Entre 1908 e 1913 Hans Geiger e Ernest Marsden realizaram uma série de experimentos na Universidade de Manchester, sob a direção de Ernest Rutherford. Nesses experimentos foram utilizadas partículas alfa emitidas por materiais radioativos dirigidas para finas folhas metálicas. O objetivo dos experimentos foi gerar dados para comparar com as previsões de diferentes modelos para o átomo existentes na época. Informações de boa qualidade sobre os experimentos de Geiger e Marsden podem ser encontradas na Wikipedia e muitas outras fontes.

O site do PhET Interactive Simulations da Universidade do Colorado contém (em outubro de 2022) uma simulação sobre o espalhamento de Rutherford. A simulação permite escolher alguns parâmetros, entre eles a energia das partículas alfa incidindo sobre um núcleo, e mostra suas trajetórias à medida que interagem com o núcleo.

Neste documento tentamos elaborar um roteiro para um experimento virtual utilizando a simulação do PhET. O experimento consiste em medir o parâmetro de impacto e o ângulo de espalhamento das trajetórias a partir de capturas de tela (print-screen) da simulação. Essas informações podem ser utilizadas para verificar se a simulação implementa fidedignamente o modelo de Rutherford e para determinar a energia das partículas alfa que incidem sobre o átomo, que a simulação permite escolher mas não informa o valor.

Como será enfatizado nas considerações finais, é importante ressaltar que os experimentos originais não mediram o ângulo de espalhamento em função do parâmetro de impacto. O que a simulação do PhET Colorado faz, e que tentamos explorar aqui, é uma transposição didática que pretende valorizar os conceitos mais fundamentais do modelo subjacente.

Metodologia

Foram utilizadas duas configurações utilizando a simulação na para o modo "Átmo de Rutherford", na escala nuclear (a largura do quadro corresponde a 1,5 × 10⁻¹³ m), e duas energias para as partículas alfa, uma a aproximadamente 1/3 da escala de energia e outra a aproximadamente 2/3 da escala de energia (a escala de energia não começa do zero nem traz valores ou unidades), com a opção "exibir trajetória" ativada. Nos dois casos foi utilizado o nuclídeo padrão da simulação, com 79 prótons e 118 nêutrons (ouro-197).

Para cada uma das configurações foi feita uma captura de tela. As imagens foram salvas em um editor de imagens (por exemplo, o MicroSoft Paint). Em cada figura foram escolhidas 5 trajetórias. Para cada trajetória foram desenhadas duas retas, uma representando a assintótica da direção de incidência e outra a assintótica da trajetória após a deflexão.

As retas foram desenhadas tendo por base o modelo físico-matemático do problema. A física do espalhamento de Rutherford é relativamente simples, e pode ser descrita analiticamente. Os principais parâmetros do modelo e a sua equação fundamental, que relaciona o parâmetro de impacto $b$ ao ângulo de espalhamento $\theta$ para uma partícula com carga $q$ e energia cinética $E$ espalhada por um núcleo com carga $Q$ são apresentados a seguir (v. livros de física básica para mais detalhes).

Desenhadas as retas, foram extraídas as coordenadas de alguns pontos, utilizando o endereço dos pixels fornecidos pelo editor de imagens. As informações registradas foram:

1. as coordenadas da posição do centro do núcleo ($P_{\text{núc}}$);
2. as coordenadas do início ($P_{\text{esc,i}}$) e do fim ($P_{\text{esc,f}}$) da barra de escala;
3. as coordenadas do início da barra seletora da energia ($P_{\text{en,i}}$) e a posição em que se encontra o seletor ($P_{\text{en,s}}$);
4. as coordenadas de 3 pontos associados a cada trajetória selecionada: o ponto em que a trajetória se inicia ($P_1$), o ponto de intersecção das retas associadas às assintóticas ($P_2$) e o ponto em que a projeção da trajetória deixa o quadro ($P_3$).

Nos dois casos, as imagens foram movidas para que o centro do núcleo, o início e o final da escala e o início do seletor de energia estivessem na mesma posição, ficando diferentes apenas as coordenadas $x$ das posições do seletor de energia ($P_{\text{en,s}}$(1) e $P_{\text{en,s}}$(2)).

As tabelas a seguir mostram os dados dos três pontos de cada trajetória para as duas configurações.

O parâmetro de impacto $b$ é dado pela diferença entre a posição do início da trajetória e o centro do núcleo e os ângulos de espalhamento $\theta$ podem ser obtidos com um pouco de trigonometria.

O gráfico a seguir mostra os ângulos obtidos em função do parâmetro de impacto para as duas configurações. Também são mostradas curvas ajustadas sobre os dados, como será descrito a seguir.

As curvas mostradas no gráfico foram obtidas ajustando-se retas a uma versão levemente modificada dos dados. A equação comumente encontrada nos livros didáticos traz $b$ em função de $\theta$:

Podemos inverte-la, escrevendo a cotangente da metade do ângulo em função do parâmetro de impacto. Fazendo $a = kqQ/2$ a equação pode ser reescrita como:

Esta equação pode ser vista como a equação de uma reta, $y = A + Bx$, se associamos a cotangente da metade do ângulo a $y$, supomos $A = 0$, $B = E/a$ e $b = x$:

O ajuste de uma reta pode ser feito utilizando o método dos mínimos quadrados, amplamente disponível na internet, em planilhas de cálculo e em calculadoras científicas básicas. Para esse ajuste precisamos das cotangentes da metade do ângulo em função do parâmetro de impacto:

Resultados

Os gráficos dos dados linearizados e das retas ajustadas são mostradas a seguir.

Os valores encontrados para $A$ e $B$ para os dois casos são apresentados na tabela abaixo.

Como era de se esperar, os valores de $A$ além de serem pequenos, têm margens de erro que os fazem tecnicamente nulos.

Com os valores de $B = E/a$ podemos calcular $\theta$ em função de $b$ e obter as curvas dos gráficos dos dados primários:

Ajuda lembrar que:

Finalmente, como $B = E/a$, $a = kqQ/2$ e os valores de $k$, $q$ e $Q$ são conhecidos, é possível calcular os valores para as energias das partículas alfa utilizadas na simulação. Entretanto, $B$ foi calculado usando pixels como unidade de medida de distância, e é preciso utilizar o fator de escala da simulação para fazer a conversão. A tabela a seguir mostra os valores encontrados e seus respectivos erros.

Considerações finais

Energias das partículas

A simulação não é muito fiel às possibilidades experimentais de Geiger e Marsden. Partículas alfa emitidas por nuclídeos naturais, que eram os disponíveis na época, têm energias máximas da ordem de 8 MeV. Nuclídeos artificiais, produzidos com aceleradores de partículas ou reatores nucleares, não disponíveis na época, podem emitir partículas alfa com energias de até 12 MeV. Atualmente (e há muito tempo) aceleradores de partículas são capazes de fornecer partículas alfa (e outras) em vastos intervalos de energia, incluindo os utilizados na simulação.

Isso não é um problema da simulação, mas provavelmente uma opção dos desenvolvedores para obter um melhor resultado visual. O fato da barra seletora de energia não trazer valores nem unidades sugere que isso foi proposital.

Escala de tempo

Na simulação, uma partícula alfa fica em cena por cerca de 2 a 3 segundos. Se consideramos uma partícula alfa com energia cinética de 10 MeV, a sua velocidade seria de cerca de 7% da velocidade da luz, ou 20 milhões de metros por segundo. Isso significa que a simulação mostra o tempo passando cerca de 1 milhão de vezes mais devagar do que o real (1.000.000:1).

Grandezas medidas

Os experimentos originais não mediram o ângulo de espalhamento em função do parâmetro de impacto, mas uma certa "integração" disso, considerando a contribuição de todos os possíveis parâmetros de impacto para o número de partículas espalhadas com diferentes ângulos (consulte os livros de física básica para detalhes).

O modelo proposto por Rutherford em 1911 para explicar o espalhamento de partículas alfa por finas folhas metálicas leva a uma expressão que relaciona o número de partículas espalhadas à intensidade do feixe incidente, à área do detetor, ao número de núcleos por unidade de volume, à espessura da folha, à distância da folha ao detetor, ao número atômico dos átomos da folha, à energia cinética da partícula incidente e ao seno do ângulo de espalhamento (novamente, consulte os livros de física básica para detalhes).

O que a simulação do PhET Colorado faz, e que tentamos explorar aqui, é uma transposição didática que pretende valorizar os conceitos mais fundamentais do modelo subjacente.