Lançamento horizontal (sem rotação)

− 0,80 m − 0,20 m
− 0,80 m

rastro

Um taco (bloco vermelho) é posicionado a uma certa distância de um alvo (bloco preto). O taco move-se em movimento retilíneo uniformemente variado com velocidade inicial nula e aceleração constante, até atingir o alvo.

O bloco e o alvo têm as mesmas dimensões e massas e movem-se sem atrito e sem girar pela superfície da mesa. Ao colidir com o alvo, a energia e o momento linear do taco são transferidos integralmente para o alvo (colisão perfeitamente elástica).

A posição em que o alvo atinge o chão é definida pela velocidade final do taco ao colidir com ele e da altura da superfície em que estão em relação ao chão. A posição em que o bloco para no chão é definida pela sua velocidade (horizontal) e o coeficiente de atrito entre o bloco e o solo.

O objetivo do experimento é determinar:

1. a aceleração $a_t$ do taco;
2. a altura de lançamento $y_0$ do bloco alvo.

Para entender como isso pode ser feito, considere a figura a seguir.

A origem do sistema de coordenadas está na "borda do precipício" ($x_3=0,00$ m) na direção $x$ e "no chão" na direção $y$ ($y_0$ é a altura de lançamento do bloco), representada pelo ponto verde.

O taco parte do repouso de um ponto $x_1$ escolhido pelo usuário (entre −0,80 m e −0,20 m da origem) e move-se com aceleração uniforme (não conhecida do usuário) até colidir com o alvo em $x_2$ = −0,20 m.

O taco e o alvo têm massas e tamanhos iguais (0,20 m de largura) e a colisão é perfeitamente elástica, de modo que o alvo parte com a mesma velocidade que o taco tem no momento da colisão.

O ponto de partida do alvo é $x_3$ = 0,00 m. O alvo toca o solo em $x_4$. Ao longo do "vôo" não há rotação ou perda de energia por atrito com o ar. Ao tocar o solo, assumimos que o alvo perde toda energia cinética correspondente à contribuição da componente $y$ da velocidade, que passa a ser nula, permanecendo inalterada a velocidade na direção $x$. A partir desse ponto o bloco move-se sobre o chão, com atrito. A força de atrito é conhecida e provoca uma aceleração de (−5,0 ± 0,2) m/s² no bloco.

A velocidade $v_t$ com que o taco atinge o alvo (e que o alvo carregará integralmente), partindo do repouso ($v_{0t}=0,00$ m/s) é dada por:

onde ${\mathrm{\Delta }x}_t=x_2-x_1$ é um valor conhecido, determinado pelo usuário, e $a_t$, a aceleração do projétil, que é uma das grandezas procuradas.

A posição $x_4$ em que o bloco toca o solo ($y=0,00$ m) pode ser obtida calculando-se o tempo de queda $t_q$ partindo de $y_0$ com velocidade $v_{0y}=0,00$ m/s, sujeito à aceleração da gravidade $g$, e utilizando o resultado na equação para o movimento retilíneo uniforme na direção $x$. Lembrando que $x_3=0,00$ m e assumindo uma colisão totalmente elástica, de modo que a velocidade $v_p$ do projétil seja igual à velocidade $v_t$ do taco no momento da colisão, obtemos:

Essa expressão pode ser rearranjada para explicitar a dependência de $x_4$ (mensurável) com ${\mathrm{\Delta }x}_t$ (mensurável):

Rearranjando a expressão, podemos obter o valor de $y_0$:

Não é possível calcular o valor de $y_0$ pois não temos o valor da aceleração $a_t$ do taco. Para obtê-la, precisamos de mais informações, e a medida de $x_5$ e o conhecimento da desaceleração devida à força de atrito vêm a calhar.

Assumimos que em $x_4$ (o ponto em que o alvo toca o solo) sua velocidade horizontal é igual à velocidade de lançamento $v_t$ (ainda desconhecida). Usando novamente a equação de Torricelli e considerando que a velocidade final $v_f=0$, que a aceleração de frenagem $a_f$ é conhecida e que ${\mathrm{\Delta }x}_f=x_5-x_4$ pode ser medido, obtemos a aceleração $a_t$ do taco:

Se medirmos ${\mathrm{\Delta }x}_f$ em função e ${\mathrm{\Delta }x}_t$ podemos construir um gráfico cujo coeficiente angular é a razão $-a_t/a_f$:

Como $a_f$ é conhecido, podemos utilizar o coeficiente angular para calcular $a_t$.

Uma sugestão de procedimento experimental é a seguinte:

Carregue o aplicativo. Ao fazê-lo, ele sorteia valores para a aceleração do taco ($a_t$) e para a altura de lançamento ($y_0$), valores que você descobrirá analisando os dados.

Escolha 6 valores para $x_1$ e faça 3 medidas de $x_4$ e $x_5$ nessa condição ($x_2$ = −0,20 m e $x_3$ = 0,00 m são bem definidos). Note que $x_4$ não varia de lançamento para lançamento (por isso somente uma coluna), mas que $x_5$ varia devido a flutuações estatísticas do movimento com atrito (por isso três colunas). Ao final do processo você terá uma tabela conjuntos de valores ($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$) que podem ser rearranjados como (${\mathrm{\Delta }x}_t$, ${\mathrm{\Delta }x}_f$):

Os coeficientes linear $a$ e angular $b$ obtidos da regressão linear utilizando $x=\{{\mathrm{\Delta }x}_{ti}\}$ e $y=\{{\mathrm{\Delta }x}_{fi}\}$ são:

Considerando que $a_t=b{a}_f$ e $a_f$ = (−5,0 ± 0,2) m/s² obtemos $a_t$ = (21 ± 1) m/s².

O valor da altura de lançamento $y_0$ também pode ser obtido ajustando uma reta aos dados experimentais:

Os coeficientes linear $a$ e angular $b$ obtidos da regressão linear utilizando $x=\{{\mathrm{\Delta }x}_{ti}\}$ e $y=\{x_{4i}^2\}$ são:

Considerando que $y_0=bg/4a_t$, $g$ = 9,80 m/s² e o valor de $a_t$ calculado acima, obtemos $y_0$ = (0,92 ± 0,05) m.