Desafio dos baldes

No vídeo "How not to Die Hard with Math" (https://www.youtube.com/watch?v= 0Oef3MHYEC0) o Mathologer mostra o seu método favorito para sobreviver ao desafio de encher um recipiente que Bruce Willis e Samuel Jackson enfrentam em "Duro de matar 3".

O problema é o seguinte:

Considere dois recipientes, um com capacidade para 5 unidades de volume e outro com capacidade para 3 unidades de volume. Pense, por exemplo, em baldes de 5 e 3 litros ou em garrafas de 500 e 300 mililitros.

Considere que os recipientes não tenham marcações intermediárias de volume (não existem marcações informando onde está o nível de 1 litro, 2 litros etc). Ou seja, observando isoladamente cada um dos recipientes não é possível saber quanta água contém, exceto quando está completamente vazio ou completamente cheio.

O problema colocado aos dois protagonistas do filme foi utilizar uma fonte de água e dois recipientes como esses para fazer com que o maior deles ficasse exatamente com 4 litros em um curto intervalo de tempo. Caso não conseguissem, uma bomba explodiria.

Uma possível solução para este problema é a que segue (os números entre parênteses indicam os volumes nos recipentes grande e pequeno, respectivamente):

1. encha o recipiente grande (5,0);
2. derrame o conteúdo dele no pequeno até enchê-lo (2,3);
3. esvazie o recipiente pequeno (2,0);
4. transfira o que sobrou no recipiente grande para o pequeno (0,2);
5. encha o recipiente grande (5,2);
6. transfira o conteúdo do recipiente grande para o pequeno até enchê-lo (4,3).

Voilà! O recipiente grande tem os desejados 4 litros.

Existem outras sequências possíveis? Qual(is) dela(s) despediça(m) menos água? Qual a que tem o menor número de passos? É possível chegar a 1 litro no recipiente pequeno? É possível "calibrar" totalmente os os dois recipientes (ou seja, manipular a água contida neles de modo a permitir que o primeiro tenha marcações precisas para 1 litro, 2 litros, 3 litros, 4 litros e o segundo tenha marcações precisas para 1 litro e 2 litros)? E se os recipientes tivessem outros volumes, por exemplo 2 e 5 litros ou 5 e 7 litros, seria possível calibrá-los?

O que segue é uma proposta de atividade que pode sensibilizar os participantes sobre como métodos matemáticos podem ajudar a entender, expandir e resolver esse problema.

O diagrama abaixo mostra uma possível abordagem do problema. O diagrama contem 4 linhas horizontais, correspondentes aos estados possíveis do vasilhame de 3 litros (0, 1, 2 ou 3 litros) e 6 linhas inclinadas, correspondentes aos estados possíveis do vasilhame de 5 litros (0, 1, 2, 3, 4 ou 5 litros). As intersecções entre as linhas representam os 24 estados possíveis do sistema, do totalmente vazio (0,0, no canto inferior esquerdo) ao totalmente cheio (5,3, no canto superior direito).

Os pontos verdes nos vértices do diagrama (0,0; 5,0; 5,3 e 0,3) são pontos "triviais", no sentido em que não fornecem qualquer informação adicional além do que já sabíamos (os volumes dos recipientes, definidos previamente).

Os pontos azuis no perímetro do diagrama são o que chamaremos de "pontos alvo". Será que conseguimos chegar a todos eles partindo de alguma das configurações inicicias (por exemplo, 0,0)? Quantos movimentos seriam necessários para isso? Se conseguirmos atingir todos eles, calibraremos o sistema.

Os pontos vermelhos no interior do diagrama são pontos "inatingíveis" sem a calibração total do sistema.

Para saber se algum objetivo (algum ponto azul) é atingível, partimos dele e seguimos as linhas até chegarmos a alguns dos pontos com volumes previamente conhecidos (algum ponto verde).

A trajetória destacada em amarelo mostra a sequência utilizada acima, que parte do ponto (5,0) e chega ao ponto (4,3).

A tabela a seguir mostra as "sequências reversas" para se atingir algumas das configurações finais.

Proposta de atividade

Regras:

1. Cada participante (ou grupo) recebe uma reprodução do diagrama.
2. O mediador sorteia uma carta para cada participante. No tabuleiro para um sistema com recipientes de 3 e 5 unidades de volume são 12 os possíveis objetivos.
3. O mediador explica a estratégia do jogo, que é a busca de "trilhas reversas" que podem levar o ponto de partida (o ponto azul correspondente à carta sorteada) a uma das situações iniciais possíveis (pontos verdes).
4. Os participantes devem encontrar, no menor tempo possível e com o menor número de passos, o caminho para o objetivo sorteado.
5. Os participantes devem executar fisicamente o procedimento, manipulando os recipientes e seus conteúdos.

Diagrama:

Tabela de cartas: