Densímetro

Um densímetro é constituído por um bulbo e uma haste cilíndrica de vidro ou plástico. O bulbo na parte inferior do densímetro é preenchido parcialmente com um material denso de modo que, quando colocado em um líquido, o densímetro permanece aproximadamente na posição vertical. A haste fina na parte superior tem uma escala calibrada de fábrica.

A figura ao lado mostra um densímetro comercialmente disponível imerso em um líquido. Os parâmetros relevantes do densímetro são: (a) o volume $V_b$ do bulbo, que para fins práticos inclui o volume da parte da haste superior que está antes do início da escala; (b) a massa total $m$ do densímetro; (c) o raio externo $R_h$ da haste cilíndrica e (d) o comprimento total $H_h$ da escala dentro da haste cilíndrica (que é um pouco menor do que o comprimento da haste).

Quando em equilíbrio, com a linha do líquido de densidade $\rho$ a uma altura $H$ do início (inferior) da escala, o empuxo deve ser igual ao peso:

o que leva a:

ou, alternativamente, a:

A tabela a seguir mostra dados de alguns densímetros comercialmente disponíveis.

Os valores de $\rho_{\text{min}}$ e $\rho_{\text{max}}$ são os que constavam nos extremos das escalas; os valores de $R_h$ foram obtidos a partir de medidas com um paquímetro; o valor de $m$ medido com uma balança digital. Os valores do volume efetivo do bulbo foram calculados a partir destes parâmetros aplicados em outra variação da fórmula acima:

Os valores entre parênteses na coluna dos volumes efetivos dos bulbos foram calculados a partir das medidas aproximadas do diâmetro e do comprimento dos bulbos (os bulbos têm extremidades que vão se afinando e o volume efetivo inclui um pequeno trecho da haste, até o início da escala) e são apresentados para comparação.

Em todos os casos o comprimento total $H_h$ medido da escala na haste é de aproximadamente 12 cm (valor assumido nos cálculos). Isto é, as marcações entre a densidade mínima $\rho_{\text{min}}$ e a densidade máxima $\rho_{\text{max}}$ estão distribuídas em 12 cm.

Isso define a precisão do densímetro: se o intervalo de medidas vai de 0,700 a 1,000 g/cm³ em 12 cm, a precisão é de aproximadamente 0,025 (g/cm³)/cm; se vai de 1,200 a 1,300 g/cm³ em 12 cm, a precisão é de aproximadamente 0,008 (g/cm³)/cm, 3 vezes maior (os valores são aproximados porque as escalas desse tipo de densímetro não são lineares).

A primeira equação acima pode ser utilizada para ajudar no processo de produção dos densímetros. A figura a seguir mostra gráficos calculados com a equação para densímetros com bulbos de volume efetivo de 15 cm³ e de 30 cm³ e hastes com raio $R_h$ = 0,4 cm e escalas de comprimento $H_h$ = 10 cm. As retas de cores semelhantes representam as densidades mínimas e máximas possíveis de serem medidas com esses densímetros, em função da sua massa. Os gráficos foram produzidos fazendo $H = 0$ para as curvas de densidade máxima e $H = H_h$ para as curvas de densidade mínima.

Esses gráficos são esclarecedores a respeito da dependência das características (intervalo de medidas e precisão) do densímetro em função da sua massa e do volume efetivo do bulbo. Vemos que, para um dado volume, os valores das densidades mínima e máxima, bem como o intervalo entre elas, aumenta com a massa. Vemos também que, para uma dada massa, quanto maior o volume, maior a precisão do densímetro ou, alternativamente, quanto menor o volume, maior o intervalo de medidas.

Para ver se você realmente compreendeu as ideias expostas aqui, faça um programa que, dadas as densidades mínimas e máximas ($\rho_{\text{min}}$ e $\rho_{\text{max}}$) e um comprimento total da escala ($H_h$), retorne possíveis combinações de massa e volume efetivo do bulbo que resolvam o problema.

Faça também um programa que, dado um densímetro (densidades mínimas e máximas a serem medidas, massa, volume do bulbo, raio da haste e comprimento da escala), calcule as posições das marcações das escalas (as posições dos "tracinhos"):

A parte superior da figura acima mostra gráficos da altura das marcações nas escalas em função da densidade para densímetros com volumes efetivos de bulbo $V_b$ = 15 cm³ e 30 cm³, raio da haste $R_h$ = 0,4 cm, tamanho da escala $H_h$ = 10 cm e massa $m$ = 30 g.

A parte de baixo mostra outra representação das marcações, indicando a posição dos traços para intervalos de densidade $\Delta\rho$ regulares, $\Delta\rho$ = 0,050... g/cm³ e 0,014... g/cm³ para $V_b$ = 15 cm³ e 30 cm³, respectivamente (a escolha de $\Delta\rho$ constante é conveniente para enfatizar a não linearidade da escala mas não é uma boa opção para facilitar a leitura das densidades).

Note novamente que para um densímetro com volume de bulbo pequeno o intervalo possível de medidas é grande e a precisão pequena quando comparados com o intervalo de medidas e a precisão de um densímetro com volume de bulbo grande e demais características iguais.