Recalibração de um copo dosador
Apresentação
Um dia desses, ao fazer uma compra, recebi de brinde um copo dosador. O copo contém diversas escalas (líquido, em mililitros; farinha, em gramas etc.). Mesmo uma olhadela sem muito cuidado leva a crer que há um problema com as escalas.
O copo é um tronco cônico. As distâncias entre marcações sucessivas de intervalos iguais devem ir diminuindo progressivamente, uma vez que o diâmetro do copo aumenta com a altura. Note que a distância entre os 100 mL e os 150 mL é menor do que a distância entre os 150 mL e os 200 mL, quando o correto seria o contrário. As outras escalas também apresentam inconsistências, umas mais outras menos evidentes.
Intrigado, resolvi fazer uma investigação mais detalhada, que consistiu em:
Descrição do copo
Para este projeto são relevantes as dimensões internas do copo (diêmetro da base, diâmetro do topo e altura), para o cálculo de seu volume em função da altura, supondo que é um tronco cônico, e as alturas das marcações das escalas, em relação ao fundo, para comparação com medidas experimentais e valores calculados pelo modelo.
Medir estas dimensões com os instrumentos disponíveis (trena e paquímetro) e uma metodologia simples (para uso em uma aula de laboratório, por exemplo), é mais complicado do que parece. O diâmetro interno do fundo é inacessível, e foi calculado a partir do diâmetro externo e da espessura da parede do copo; o diâmetro interno do topo deve levar em conta que o copo tem um "colarinho" mais "largo" que o restante do copo; a altura não é homogênea, uma vez que o fundo não é plano, mas uma calota esférica de raio muito grande. Uma caracterização mais refinada poderia ser feita a partir de um molde do interior do copo, de epóxi ou silicone, por exemplo.
As medidas das posições das marcações nas escalas foram feitas com uma trena encostada à parede do copo, tendo como referência o fundo (externo) do copo. Para fins de cálculo do volume com o modelo do tronco cônico, essas medidas foram corrigidas levando em consideração o ângulo de abertura do tronco cônico.
As tabelas a seguir resumem as medidas. Para fins de cálculos e comparações que seguem, foi atribuída uma incerteza de ±0,5 mm para todas as medidas.
Copo:
| Diâmetro interno do fundo | $B$ (mm) | 61,4 |
| Diâmetro interno do topo | $D$ (mm) | 79,4 |
| Altura | $H$ (mm) | 126,0 |
| Ângulo de abertura do cone | $\theta$ (graus) | 4,08 |
Determinação experimental da escala para líquidos
A determinação experimental de onde deveriam estar as marcas das escalas foi feita adicionando-se ao copo massas de água equivalentes aos volumes indicados na escala, assumindo uma densidade de 1 g/cm3 para a água. As massas de água diferem das massas indicadas nos rótulos em não mais do que 0,5 g. A precisão da balança utilizada é de 0,01 g.
A medida da posição da superfície da água foi feita de maneira indireta. Foram feitas fotografias de cada situação, como as exemplificadas a seguir.
As fotografias foram carregadas em um aplicativo para tratamento de imagens e as alturas da superfície da água e das duas marcações da escala mais próximas a ela foram registradas, em pixels. A partir dessas medidas e do conhecimento das alturas das marcações, previamente medidos em milímetros com relação ao fundo do copo, foram feitas interpolações lineares para determinar as alturas hexp da superfície da água em cada caso. Os valores encontrados estão na tabela a seguir, bem como as alturas hesc das marcações da escala, e ilustrados na figura que a sucede.
Modelagem matemática
O copo tem a geometria de um tronco cônico. A figura ao lado mostra um corte do tronco cônico gerado por um plano vertical que passa pelo centro de sua base e seu topo.
O volume $V$ de um tronco cônico com base de diâmetro $B$, topo de diâmetro $D$ e altura $H$ é dado por:
$$ V = \frac{H\pi}{12} (B^2 + DB + D^2) $$O ângulo de abertura do cone pode ser obtido a partir da diferença entre os raios do topo e da base e de sua altura total:
$$ \tan \theta = \frac{D-B}{2H} $$Este ângulo também pode ser obtido a partir da distância $r$ entre a parede do cone e a vertical que sai da base da parede, a uma altura $h$:
$$ \tan \theta = \frac{r}{h} $$Igualando as duas equações podemos escrever o diâmetro $d$ do cone a uma altura $h$:
\begin{eqnarray} r & = & \frac{D-B}{2H} h \\ d & = & B + 2r = B + \frac{D-B}{H} h \\ \end{eqnarray}A equação para o volume em função da altura e das dimensões do cone fica:
$$ V = \frac{h\pi}{12} (B^2 + dB + d^2) $$Fazendo $\alpha = (D-B)/H$, $d = B + \alpha h$ e adicionando um pouco de álgebra obtemos $V$ em função de $h$ e das dimensões $B$, $D$ e $H$ do cone:
$$ V = \frac{\pi}{12}(3B^2 h + 3B\alpha h^2 + \alpha^2 h^3) $$Mas o que gostaríamos mesmo seria obter a altura em função do volume, o que leva a uma equação de 3o. grau:
$$ h^3 + a_1 h^2 + a_2 h + a_3 = 0 $$ $$ a_1 = \frac{3B}{\alpha}, \;\;\; a_2 = \frac{3B^2}{\alpha^2}, \;\;\; a_3 = -\frac{12}{\pi\alpha^2} V $$Equações de 3o. grau são solúveis analiticamente. Um aplicativo para o cálculo das soluções de equações de 3o. grau pode ser encontrado em https://canzian.prof.ufsc.br/fisicacomjavascript/exemplos/fjs-ex-solucao-de-equacoes-de-3o-grau.html. Esse algoritmo foi utilizado para encontrar os valores de hmod para os volumes indicados na escala do copo dosador, apresentados na tabela, diagrama e gráfico a seguir.
Utilizamos um algoritmo de ajuste de funções (https://scidavis.sourceforge.net/) para ajustar uma curva aos dados do volume (medido experimentalmente) em função da altura (medida experimentalmente), tendo como parâmetros de ajuste as dimensões do $B$, $D$ e $H$ do copo. Os resultados do ajuste, comparados às medidas, são apresentados na tabela a seguir.
| Medido | Ajuste | ||
| Diâmetro interno do fundo | $B$ (mm) | 61,4 | 60,4 |
| Diâmetro interno do topo | $D$ (mm) | 79,4 | 82,3 |
| Altura | $H$ (mm) | 126,0 | 126,0 |
A tabela a seguir mostra os volumes marcados na escala, os volumes que efetivamente cada marcação contém e as diferenças entre ambos.
Análise das escalas para massas
As escalas para as massas são mais difíceis de se avaliar de maneira "absoluta", uma vez que a densidade da farinha, do arroz e do açúcar dependem não só do tipo de farinha, arroz e açúcar, mas também do grau de compactação que se pode obter "batendo" o copo sobre uma superfície.
Em função disso, verificamos a consistência interna das escalas. Para isso, assumimos que as marcas máximas de cada escala (200 g para farinha e 300 g para arroz e açúcar), correspondem de fato ao que indicam, o que fixa a densidade dessas substâncias. A partir dessa hipótese, verificamos se as demais marcações respeitam essa relação segundo o modelo do tronco cônico. Os resultados estão resumidos na figura a seguir (essa metodologia não foi aplicada à escala para líquidos, que foi incluída apenas para comparação).
Conclusão
Como suspeitávamos, todas as escalas têm problemas.
A escala para líquidos indica posições sistematicamente menores do que as medidas experimentalmente. Para volumes pequenos (25 mL e 50 mL), essas diferenças são significativas, de 25% e 19% a menor, respectivamente. Nos demais casos, as diferenças absolutas são maiores, mas percentualmente menores.
O modelo do tronco cônico não funciona bem para os volumes menores, particularmente para os 25 mL, e continua apresentando leves discrepâncias para os volumes maiores. Acreditamos que isso se deve à hipótese de que o fundo do copo é plano e de espessura 2 mm, enquanto na realidade a superfície interna é convexa e ainda contém um anel em baixo-relevo junto às paredes laterais do copo.
As discrepâncias nas escalas para sólidos não parecem ter sido originadas a partir de algum erro sistemático na sua confecção, mas parecem "aleatórias", sugerindo que a matriz original foi de fato construída experimentalmente, com toda a variabilidade que o grau de compactação em cada etapa pode ter proporcionado ou devido ao uso de uma balança de baixa qualidade.
Felizmente, trata-se apenas de um copo dosador, um brinde a ser utilizado em uma cozinha doméstica, onde as discrepâncias nas medidas são provavelmente inofensivas, e não em uma farmácia de manipulação. É triste apenas constatar que existem conhecimentos e recursos simples que poderiam ser utilizados para produzir algo sem erros, e que não são utilizados por ignorância ou desleixo.