Conjunto de Mandelbrot

Traduzido, adaptado e ampliado de
Computacional Physcis, de Mark Newman

O conjunto de Mandelbrot, nomeado devido a seu descobridor, o matemático francês Benoît Mandelbrot, é um fractal, um objeto matemático infinitamente ramificado que contém estruturas dentro de estruturas dentro de estruturas, tão profundamente quanto quisermos procurar. A definição do conjunto de Mandelbrot é feita em termos de números complexos como segue.

Considerea a equação:

onde $z$ é um número complexo e $c$ é uma constante complexa. Para cada valor de $c$ esta equação transforma um número de entrada $z$ em um número de saída $z'$. A definição do conjunto de Mandelbrot envolve a repetição iterativa desta equação: tomamos um valor inicial par $z$ e alimentamos a equação para obter um novo valor $z'$. Então pegamos esse valor e alimentamos novamente a equação para obter um outro valor, e assim por diante. O conjunto de Mandelbrot é o conjunto de equações no plano complexo que satisfaz a seguinte definição:

Para um dado valor complexo $c$, comece com $z=0$ e iteraja repetidamente. Se a magnitude $|z|$ do valor resultante em algum momento ficar acima de 2, então o ponto no plano complexo na posição $c$ não está no conjunto de Mandelbrot. Se não, está no conjunto.

De modo a utilizar esta definição seria necessário, em princípio, iterar um número infinito de vezes para provar que um ponto está no conjunto, uma vez que um ponto está no conjunto somente se a resultado da iteração não passe nunca de 2. Na prática, entretanto, é feito um grande número de iterações, digamos 100, e se $|z|$ não exceder 2 neste ponto, aceitamos isso como bom o bastante.

Escreva um programa que faça uma imagem do conjunto de Mandelbrot realizando a iteração para todos os valores de $c=x+\mathrm{i}y$ em uma grad $N \times N$ cobrindo a região em que $-2 \le x \le 2$ e $-2 \le y \le 2$. Faça um gráfico de densidades em que cada ponto da grade dentro do conjunto de Mandelbrot seja colorido com uma cor e aqueles fora sejam coloridos com outra cor. O conjunto de Mandelbrot tem ma forma bem peculiar, parecendo-se com um besouro com uma longa tromba – você saberá quando vê-lo.

Dica: você provavelmente vai achar útil começar com uma grade relativamente grosseira, isto é, com um $N$ pequeno (talvez $N=100$) de modo que seu programa seja executado rapidamente enquanto em testes. Uma vez que você tenha certeza de que está funcionando corretamente, aumente o valor de $N$ para produzir uma imagem final de alta qualidada.