Neste experimento você vai investigar:

• o movimento de um sólido rolando em um plano inclinado e a seguir em queda livre;
• a transformação de energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e de rotação;
• a conservação da energia mecânica;
• um exemplo de movimento bidimensional.

Ao soltarmos uma esfera, a partir do repouso, do alto de um plano inclinado como o ilustrado na Figura 1, o seu centro de massa realiza os seguintes movimentos (desconsiderando o atrito ou outras forças dissipativas):

• movimento retilíneo uniformemente acelerado entre os pontos $A$ e $B$;
• movimento retilíneo uniforme entre $B$ e $C$;
• movimento bidimensional entre $C$ e $D$, que consiste na composição de um movimento retilíneo uniforme na direção horizontal e um movimento retilíneo uniformemente variado (queda livre) na direção vertical.

Figura 1. Superposição do movimento de uma esfera no experimento do lançamento horizontal para três alturas de lançamento.

Em $A$, a energia potencial gravitacional da esfera, no momento do lançamento, pode ser calculada em relação ao nível da mesa ($E_{P,\text{m}}$) e ao nível do piso ($E_{P,\text{p}}$):

$$E_{P,\text{m}}=mgh$$

Eq. 1

$$E_{P,\text{p}}=mg(H+h)$$

Eq. 2

onde $m$ é a massa da esfera, $g$ a gravidade local, $H$ a distância vertical entre o centro de massa da esfera quando no piso e quando na canaleta sobre a mesa, e $h$ a distância vertical entre este ponto e o centro de massa no ponto de lançamento.

Ao longo do trecho $BC$ sobre a mesa a energia cinética tem duas componentes, a energia cinética de translação ($E_{CT,\text{m}}$) e a energia cinética de rotação ($E_{CR,\text{m}}$):

$$E_{CT,\text{m}}=\frac{1}{2}m{v}_x^2$$

Eq. 3

energia cinética de rotação:

$$E_{CR,\text{m}}=\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }_{cm}^2$$

Eq. 4

onde $v_x$ é a velocidade (horizontal) do centro de massa da esfera, $I_{cm}=(2/5)m{R}^2$ o momento de inércia da esfera maciça de raio $R$ em relação ao centro de massa e ${\omega }_{cm}=v_x/R$ é a sua velocidade angular.

Note que ao substituirmos as expressões para $I_{cm}$ e ${\omega }_{cm}$ na equação 4, vemos que as energias cinéticas de translação e rotação têm uma relação fixa:

$$E_{CR,\text{m}}=\frac{2}{5}{E}_{CT,\text{m}}$$

que vale não apenas sobre a mesa, mas em qualquer ponto da trajetória na canaleta (mas não na queda livre).

No trecho $BC$ a conservação da energia leva a:

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}_x^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }_{cm}^2$$

Eq. 5

de onde é possível obter a velocidade esperada para o centro de massa ao longo do trecho horizontal da canaleta, incluindo o ponto $C$:

$$v_{x,\text{teo}}=\sqrt{\frac{10}{7}gh}$$

Eq. 6

Entre $C$ e $D$ a trajetória da esfera é a combinação de um movimento retilíneo uniforme na direção horizontal com um movimento retilíneo uniformemente acelerado na direção vertical. A partir do movimento na direção vertical é possível determinar o tempo de queda $t_q$ entre $C$ e $D$ e a componente vertical da velocidade da esfera ao atingir o solo:

$$H=\frac{1}{2}g{t}_q^2$$
$$t_q=\sqrt{\frac{2H}{g}}$$	Eq. 7
$$v_y=\sqrt{2gH}$$	Eq. 8

onde $H$ é a altura da queda, ou seja, a diferença entre as posições verticais do centro de massa da esfera em $C$ e em $D$. Em $D$ o balanço total da energia, é, portanto:

$$mg(h+H)=\frac{1}{2}m{v}_x^2+\frac{1}{2}m{v}_y^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }_{cm}^2$$

Eq. 9

A partir do tempo de queda também é possível determinar o valor esperado para o alcance da esfera, isto é, a distância $x_{q,\text{teo}}=v_{x,\text{teo}}{t}_q$ entre o ponto em que deixa a canaleta e o ponto em que atinge o piso:

$$x_{q,\text{teo}}=v_{x,\text{teo}}{t}_q=\sqrt{\frac{10}{7}gh}\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{20}{7}Hh}$$

Eq. 10

Experimentalmente, entretanto, desejamos obter a velocidade no final da canaleta a partir do alcance da esfera:

$$v_{x,\text{exp}}=\frac{x_{q,\text{exp}}}{t_q}$$

Eq. 11

Em resumo: a partir da equação 6 é possível determinar a velocidade esperada para o centro de massa da esfera em $C$. Utilizando esta velocidade nas equações 3 e 4, é possível determinar a energias cinéticas de translação e rotação esperadas para a esfera no ponto $C$, bem como a sua energia cinética total $E_T=E_{CT}+E_{CR}$. A equação 10 permite ainda calcular, em função dos parâmetros geométricos do sistema, o valor esperado para o alcance da esfera.

No experimento você vai medir o alcance de esfera para diferentes alturas de lançamento e comparar os resultados experimentais com os valores esperados. A partir do valor experimental para o alcance você vai determinar a velocidade esfera, as energias cinéticas de translação e de rotação desta ao deixar a canaleta e também compará-las com os resultados esperados.

Utilize a barra deslizante para alterar a altura de lançamento. Ao lado da barra, a simulação informa o valor da altura com seu respectivo erro. Clique em "OK" para liberar a esfera. Ao deixar a canaleta, a esfera prosseguirá em queda livre até atingir o piso, e deixará uma marca no ponto de impacto. Refaça o experimento para 5 alturas diferentes. Anote os dados primários, calcule os valores das grandezas solicitadas e compare com os valores esperados (veja tabelas a seguir).

Elabore um relatório contendo:

• Um desenho detalhado do sistema com indicações de todos os parâmetros geométricos do sistema.
• Um diagrama das forças que atuam sobre a esfera em cada trecho.
• Uma tabela com os dados brutos e seus respectivos erros de medida e erros propagados (quando for o caso).
• A partir das equações acima e dos parâmetros geométricos do sistema, calcule, para cada configuração:
• a energia total inicial;
• o valor esperado da velocidade do centro de massa da esfera ao deixar a canaleta;
• os valores esperados da energia cinética de translação, energia cinética de rotação e energia cinética total da esfera ao deixar a canaleta;
• o valor da energia cinética total da esfera ao atingir o piso;
• o tempo de queda da esfera;
• o alcance esperado da esfera.
• A partir dos seus dados experimentais para o alcance da esfera, determine:
• a velocidade horizontal da esfera ao atingir o piso;
• a energia cinética de translação, a energia cinética de rotação e a energia cinética total da esfera ao atingir o piso;
• uma tabela resumindo os valores esperados e os valores determinados experimentalmente (v. sugestão);
• dois gráficos: (a) um dos valores esperados do alcance $x$ em função da raiz quadrada da altura de lançamento $h$ e (b) outro dos valores medidos do alcance $x$ em função da raiz quadrada da altura de lançamento $h$. Para facilitar a comparação, superponha os dois conjuntos de pontos (no mesmo "papel" e escalas), identificando-os com legendas.

$L$	altura de queda livre
$t_q$	tempo de queda livre
$v_y$	velocidade vertical no instante de impacto com o piso

$h$	altura de lançamento
${\bar{x}}_q$	alcance
$v_x$	velocidade horizontal do centro de massa ao deixar a mesa e ao bater no piso
$v_y$	velocidade vertical do centro de massa ao bater no piso
$|v|$	módulo da velocidade no instante de impacto com o piso
$E_{P,\text{m}}$	energia potencial gravitacional com relação à mesa
$E_{P,\text{p}}$	energia potencial gravitacional com relação ao piso
$E_{CT,\text{m}}$	energia cinética de translação
$E_{CR,\text{m}}$	energia cinética de rotação
$E_{T,\text{m}}$	energia cinética total no final da canaleta sobre a mesa
$E_{T,\text{p}}$	energia cinética total no instante de impacto com o piso
$\mathrm{\Delta }E$%	fração da energia dissipada

Massa da esfera:	(0,034 ± 0,001) kg
Raio da esfera:	(0,0020 ± 0,0001) m
Altura da mesa:	(0,800 ± 0,005) m

$h$ ± 0,005 m	$x_q$ ± 0,01 m					${\bar{x}}_q$ ± m

$h$ ± 0,005 m	$x_q$ ± 0,01 m					${\bar{x}}_q$ ± m

$h$ ± 0,005 m	$x_q$ ± 0,01 m					${\bar{x}}_q$ ± m

$h$ ± 0,005 m	$x_q$ ± 0,01 m					${\bar{x}}_q$ ± m

$h$ ± 0,005 m	$x_q$ ± 0,01 m					${\bar{x}}_q$ ± m

	1	2	3	4	5
$h$
${\bar{x}}_q$
$v_x$
$v_y$
$|v|$
$E_{P,\text{m}}$
$E_{P,\text{p}}$
$E_{CT,\text{m}}$
$E_{CR,\text{m}}$
$E_{T,\text{m}}$
$E_{T,\text{p}}$
$\mathrm{\Delta }E$%

A técnica de simulação utilizada neste aplicativo está descrita no artigo do autor citado nas referências. Boa parte do código fonte daquele projeto foi utilizado nesse (o sistema rampa-reta é essencialmente o looping sem o looping propriamente dito).

As coordenadas $x$ e $y$ em função do tempo, para a descida da rampa, são dadas por:

$$\begin{array}{rcl}x(t)& =& \frac{r}{\sin \varphi }+\frac{1}{2}\frac{g}{(1+k)}\sin \varphi \cos \varphi t^2\\ y(t)& =& H-\frac{1}{2}\frac{g}{(1+k)}{\sin }^2\varphi t^2\end{array}$$

onde $\varphi$ é o ângulo de inclinação da rampa, $g$ a aceleração da gravidade, $H$ a altura de lançamento e $k$ o fator associado ao momento de inércia (2/5 no caso de uma esfera maciça). Na simulação foi feita a implementação direta dessas fórmulas.

O trecho de conexão entre a rampa de descida e a reta horizontal sobre a mesa é um arco de círculo. A posição em função do tempo pode é obtida a partir da integração da equação diferencial:

$$\ddot{\alpha }=-\frac{g}{(1+k)R}\sin \alpha$$

onde $R$ é o raio do círculo ao qual o segmento pertence e $\alpha$ é a coordenada angular em que a partícula se encontra. Essa equação não é integrável analíticamente e na simulação foi empregado o método de Runge-Kutta de 4a. ordem para a integração.

O movimento sobre o trecho horizontal da canaleta e da queda livre são descritos pelas tradicionais equações do movimento retilíneo uniforme e do movimento retilíneo uniformemente variado.

Os detalhes do que acontece com uma esfera transitando (escorregando + rolando) sobre uma superfície são complexos e profundamente dependentes das características da esfera e da superfíce em que se apoia. A dissipação da energia é devida a fenômenos ligados à rugosidade das superfícies dos objetos, suas elasticidades e à resistência oferecida pela ar (arrasto), todos dependentes da velocidade da esfera. Na simulação, "resumimos" a dependência com as características dos objetos e a resistência do ar a fatores multiplicativos na aceleração que a esfera tem quando desce a canaleta e quando percorre o trecho horizontal, e desprezamos a resistência do ar durante a queda livre. Desse modo, a aceleração durante a descida da rampa é um pouco menor do que a do modelo ideal ($a=g/(1+k)\times f$, onde $k=2/5$ para uma esfera maciça e $f$ é um número sorteado entre 0,80 e 0,95) e negativa ao londo do trecho horizontal (aleatoriamente escolhida entre −0.09 e −0.11 m/s²). Os valores das flutuações nas acelerações foram escolhidos de modo que os resultados da simulação fossem semelhantes aos resultados do experimento real, em que a dissipação da energia raramente é menor do que 10%, chegando a 50% em certas configurações e equipamentos.

Figura 2. Gráficos do alcance esperado (azul) em um sistema ideal (sem atrito) e do alcance "medido" (vermelho) com a simulação, em função da raiz quadrada da altura de lançamento para 5 alturas (0,50 m, 0,10 m , 0,15 m, 0,20 m e 0,25 m). A reta sobre os valores "medidos" foi obtida com o método dos mínimos quadrados. Para esse conjunto de "dados", a dissipação de energia está em torno de 50% para a menor altura de lançamento e 10% para a maior altura de lançamento, consistente com dados experimentais reais obtidos em laboratório.

O roteiro que serviu de base para o utilizado nesta simulação foi desenvolvido nos idos de 2003 por Nelson Canzian da Silva e Celso Yuji Matuo enquanto professores da disciplina Laboratório de Física I, a primeira disciplina de laboratório cursada pelos estudantes dos cursos de licenciatura e bacharelado em física da Universidade Federal de Santa Catarina.

A dedução das equações de movimento para os vários trechos e uma descrição do esqueleto básico da simulção pode ser encontrado em:

SILVA, N. C da, Looping: solução da lagrangiana, simulação computacional e estratégias didáticas, Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 32, n. 3, p. 963-987, dez. 2015. 963 (DOI: http://dx.doi.org/10.5007/2175-7941.2015v32n3p963).

Uma dedução alternativa das equações de parte do problema utilizando uma abordagem mais tradicional pode ser encontrada em:

FITZPATRICK, R., Combined translational and rotational motion, in: Classical Mechanics, an introductory course, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node108.html. Acessado em 22/02/2018.

Para os mais curiosos a respeito dos fenômenos que intervêm no movimento de esferas rolando, existem vários recursos facilmente acessíveis na internet:

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS, Rolling resistance, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 8 Feb. 2018, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rolling_resistance&oldid=824629931 Acessado em 22/02/2018.

STACK EXCHANGE INC., "What role does static friction force play for a rolling object? How can I know what direction it points?", https://physics.stackexchange.com/questions/158817/what-role-does-static-friction-force-play-for-a-rolling-object-how-can-i-know-w. Acessado em 22/02/2018.

ROJA, R., SIMON, M., Like a rolling ball, http://robocup.mi.fu-berlin.de/buch/rolling.pdf. Acessado em 22/02/2018.

CROSS, R. Effects of surface roughness on rolling friction, publicado originalmene no European Journal of Physics, Nov. 2015. Carregado em https://www.researchgate.net/publication/281666081_Effects_of_surface_roughness_on_rolling_friction em Jun. 2017. Acessado em 22/02/2018.

GOOHPATTADER P. S., METTU, S., CHAUDHURY, M. K., Rolling motion of a rigid sphere on a structured rubber substrate aided by a random noise and an external bias, https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1108/1108.0915.pdf