Notebook 22
Arrasto, integração de EDOs, método de Euler

A força de resistência de um fluido possui sentido sempre contrário ao sentido da velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido.

Para situações em que o fluxo do fluido em torno do objeto é laminar, a força é aproximadamente proporcional à velocidade, $f = kv$, onde $k$ é um fator de proporcionalidade que depende da forma do corpo e das propriedades do fluido.

Para situações em que o fluxo do fluido em torno do objeto é turbulento, a força é aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade, $f = Dv^2$, onde $D$ é um fator de proporcionalidade que depende da forma do corpo e das propriedades do fluido.

A resistência de um fluido faz com que objetos caindo não tenham uma aceleração constante. No caso de uma força de resistência que depende linearmente com a velocidade, o diagrama de forças leva a:

$$ mg + (-kv) = ma $$

No início do movimento a velocidade é nula, assim como a força de resistência, de tal modo que a aceleração é igual à da gravidade, ou $a=g$ a = g. O aumento da velocidade faz com que a força de resistência aumente até que iguale-se ao peso do objeto, quando a aceleração passa a ser nula. A velocidade nesta situação é chamada velocidade terminal:

$$ v_t = \frac{mg}{k} $$

As equações para a aceleração, velocidade e posição em função do tempo podem ser obtidas resolvendo a equação diferencial para a velocidade e em seguida derivando e integrando a solução para obter a aceleração e a posição em função do tempo:

\begin{eqnarray} a & = & -ge^{-\frac{k}{m}t} \\ v & = & -v_t \left( 1-e^{-\frac{k}{m}t} \right) \\ y & = & y_0 - v_t \left[ t - \frac{m}{k} (1-e^{-\frac{k}{m}t}) \right] \\ \end{eqnarray}

Quando a força de resistência depende do quadrado da velocidade, a velocidade terminal também é obtida a partir da equação de forças:

\begin{eqnarray} 0 & = & mg - Dv_t^2 \\ v_t & = & \sqrt{\frac{mg}{D}} \\ \end{eqnarray}

Neste caso, entretanto, a não-linearidade da equação diferencial (a dependência com o quadrado da velocidade) dificulta a obtenção de expressões analíticas para a aceleração, velocidade e posição do objeto em função do tempo, e precisamos recorrer a métodos numéricos.

Uma estratégia de implementação rápida e fácil (mas não tão precisa quanto outros métodos) é tratar as diferenciais como grandezas finitas. No caso da força proporcional à velocidade temos:

$$a = \frac{F(v)}{m}$$	$$\rightarrow$$	$$a_i = \frac{k v_i}{m}$$
$$a = \frac{dv}{dt}$$	$$\rightarrow$$	$$v_{i+1} = v_i + a_i \, \Delta t$$
$$v = \frac{dy}{dt}$$	$$\rightarrow$$	$$y_{i+1} = y_i + v_i \, \Delta t$$

Exercícios

Modifique o script de modo a gerar os gráficos abaixo, que mostram a aceleração, velocidade e posição em função do tempo para uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, em uma situação em que a razão $D/m$ = 0,1. Note que nos dois casos o objeto leva cerca de 11 unidades de tempo para atingir o solo, mas no segundo caso ($F = Dv^2$) a velocidade limite é atingida em aproximadamente 2,5 unidades de tempo, enquanto no primeiro caso ($F = kv$), são necessárias cerca de 7 unidades de tempo.
Experimente outros valores para $D/m$ e tente estimar o valor abaixo do qual o objeto atinge o solo sem atingir a velocidade limite.
Se a resistência do ar é negligenciada, o alcance máximo de um projétil ocorre quando ele é lançado com um ângulo de 45,0° com a horizontal. Reproduza o gráfico abaixo, que mostra as trajetórias calculadas sem levar em conta a resistência do ar.
Reproduza o gráfico abaixo, que considera uma força de arrasto proporcional à velocidade, com a razão $k/m$ = 0,25. Note que para ângulos elevados a trajetória é mais longa do que para ângulos mais baixos, com maior dissipação de energia, levando a alcances menores.
O movimento de um pêndulo em situação ideal (corda sem massa, inextensivel, sem atrito, sem arrasto, etc.), é regido pela seguinte equação diferencial: $$ \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{g}{l} \sin\theta $$
Como a equação é não linear, usualmente se faz a aproximação para pequenas oscilações, caracterizadas por $\theta$ pequeno, conhecida como a aproximação do pêndulo simples (ou aproximação do oscilador harmônico simples, OHS):
$$ \sin \theta \simeq \theta $$ $$ \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{g}{l} \theta $$
Nesta aproximação, para o caso de um pêndulo solto de um ângulo inicial $\theta_0$ com velocidade inicial nula, a equação de movimento é dada por:
$$ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t) $$
Com essa equação é possível calcular a posição do pêndulo simples em um instante qualquer, passado ou futuro, com precisão absoluta.

Só que o pêndulo real não funciona assim. A equação para o pêndulo real, que contém o $\sin \theta$, não é integrável analiticamente, e portanto não existe uma fórmula que dê a posição do pêndulo real em qualquer instante de tempo.

Faça um programa que reproduza a figura abaixo, que mostra os gráfico do ângulo em função do tempo para a aproximação do pêndulo simples e o gráfico do ângulo em função do tempo para a integração numérica com o método de Euler e um passo de integração de 0,01 segundo.