Notebook 18
Gráficos polares, fórmula de Klein-Nishina, Plotly

A espiral galileana é dada por:

O script deste documento mostra como representar a espiral galileana em gráfico em coordenadas cartesianas, em que $x = r \cos \theta$ e $y = r \sin \theta$, e em um gráfico em coordenadas polares, para $ 0 \lt \theta \lt 10\pi$.

Exercícios

1. As funções de onda $\psi_{n,l,m}$ para os orbitais de um átomo hidrogenoide são soluções para a equação de Schrödinger considerando um potencial central coulombiano e podem ser escritas em termos de suas partes radial, polar e azimutal para os números quânticos principal $n$, orbital $l$ e magnético $m$: \begin{equation} \psi_{n,l,m} = R_{n}(r) \Theta_{l,m}(\theta) \Phi_{m}(\varphi) \end{equation}

   As soluções para $n$ = 0, 1 e 2 e os valores permitidos para $l$ e $m$ são:

   

   A dependência em $\theta$, em particular, é dada pelos polinômios associados de Legendre, $P_{l,m}$. No caso das funções de onda acima, esses polinômios são:

   \begin{eqnarray} P_{0,0} & = & 1 \\ P_{1,0} & = & \cos\theta \\ P_{1,1} & = & -\sin\theta \\ P_{2,0} & = & \frac{1}{2}(3 \cos^2\theta-1) \\ P_{2,1} & = & -3\sin\theta\cos\theta \\ P_{2,2} & = & 3\sin^2\theta \\ \end{eqnarray}
   1. Digite em LaTeX/MathJax as fórmulas para as funções de onda mostradas acima.
   2. Faça os gráficos polares dos polinômios de Legendre deste exemplo. Você deve obter algo parecido com a figura a seguir.

   

2. O espalhamento Compton ocorre quando um fóton de energia $E_1$ interage com uma partícula de massa $m$ de carga elementar $e$ e dessa interação emerge um fóton de energia $E_2 < E_1$ espalhado a um ângulo $\theta$, e o elétron é espalhado a um ângulo $\phi$. A relação entre as energias do fóton incidente e do fóton emergente e o ângulo $\theta$ que este faz com a direção de incidência daquele é dada por:
   $$ \frac{1}{E_2} = \frac{1}{E_1} + \frac{1}{mc^2} (1 - \cos \theta) $$

   A equação de Compton permite calcular as energias do fóton e de um elétron (por exemplo) espalhados em termos do ângulo de espalhamento do fóton. Mas a equação não diz nada sobre a probabilidade de encontrar o fóton espalhado em um determinado ângulo.

   A interação entre o fóton e o elétron no espalhamento Compton pode ser completamente explicada no contexto da eletrodinâmca quântica (QED, de quantum electrodynamics). Dessa teoria pode-se obter a dependência angular do espalhamento, ou seção de choque diferencial em função da energia do fóton incidente:

   $$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{2} r_e^2 f(E_\gamma,\theta)^2[ f(E_\gamma,\theta) + f(E_\gamma,\theta)^{-1} - \sin^2\theta] $$

   onde $f(E_\gamma,\theta) = 1/[1 + E_\gamma (1 - \cos\theta)]$, $E_\gamma = h\nu/m_ec^2$ é a energia do fóton em unidades da massa de repouso do elétron (511 keV/c²) e $r_e = e^2/m_ec^2 = 2,818 \times 10^{-15} m$ é o raio clássico do elétron.

   Esta fórmula foi derivada em 1928 por Oskar Klein e Yoshio Nishina e foi um dos primeiros resultados obtidos com a eletrodinâmica quântica. Para baixas energias ($E_\gamma \ll m_ec^2$) esta expressão aproxima-se da expressão derivada anos antes por J. J. Thomson, o descobridor do elétron, utilizando a eletrodinâmica clássica ($\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{2}[1 + \cos^2\theta]r_e^2)$.

   Implemente um programa que faça o gráfico da seção de choque diferencial em coordenadas polares e para diferentes valores de energia, como o que segue.