Notebook 13
Campo de uma carga, 3d array

O módulo do campo elétrico de uma carga $q$ posicionada na origem do sistema de coordenadas é dado por:

\begin{equation} E = \frac{kq}{r^2} = \frac{kq}{x^2 + y^2 + z^2} \end{equation}

O script deste documento implementa o cálculo do módulo do campo elétrico de uma carga pontual posicionada na origem de um sistema de coordenadas e armazena os valores em uma matriz tridimensional $N \times N \times N$, e imprime os valores do módulo do campo calculado para pontos no plano $x$ = 0.

Console: 0.500000 0.800000 1.000000 0.800000 0.500000 0.800000 2.000000 4.000000 2.000000 0.800000 1.000000 4.000000 Infinity 4.000000 1.000000 0.800000 2.000000 4.000000 2.000000 0.800000 0.500000 0.800000 1.000000 0.800000 0.500000

Exercícios

  1. Modifique o programa para que imprima os valores do módulo do campo no plano $y = y_{\text{mín}}$ e $z = z_{\text{máx}}$ que, devido à simetria do sistema, devem ser idênticos.
    2. Console: Plano y = yMin: 0.333333 0.444444 0.500000 0.444444 0.333333 0.444444 0.666667 0.800000 0.666667 0.444444 0.500000 0.800000 1.000000 0.800000 0.500000 0.444444 0.666667 0.800000 0.666667 0.444444 0.333333 0.444444 0.500000 0.444444 0.333333 Plano z = zMax: 0.333333 0.444444 0.500000 0.444444 0.333333 0.444444 0.666667 0.800000 0.666667 0.444444 0.500000 0.800000 1.000000 0.800000 0.500000 0.444444 0.666667 0.800000 0.666667 0.444444 0.333333 0.444444 0.500000 0.444444 0.333333
  2. Modifique o programa para que calcule o módulo do campo de duas cargas pontuais iguais, uma na posição $x = x_{\text{mín}}$ e outra na posição $x = x_{\text{máx}}$ e imprima os valores do módulo do campo nos planos $x = 0$ e $y = y_{\text{mín}}$ e $z = z_{\text{máx}}$.
    3. \begin{eqnarray} \vec{E}_1 & = & \frac{kq}{[(x-x_1)^2 + y^2 + z^2]^{3/2}} \left[ (x-x_1) \, \hat{\imath} + y \, \hat{\jmath} + z \, \hat{k} \right] \\ \vec{E}_2 & = & \frac{kq}{[(x-x_2)^2 + y^2 + z^2]^{3/2}} \left[ (x-x_2) \, \hat{\imath} + y \, \hat{\jmath} + z \, \hat{k} \right] \\ \vec{E} & = & \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \\ |\vec{E}| & = & |\vec{E}_1 + \vec{E}_2| \\ \end{eqnarray}
    Console: Plano x = 0: 0.544331 0.662539 0.707107 0.662539 0.544331 0.662539 0.769800 0.715542 0.769800 0.662539 0.707107 0.715542 0.000000 0.715542 0.707107 0.662539 0.769800 0.715542 0.769800 0.662539 0.544331 0.662539 0.707107 0.662539 0.544331 Plano y = yMin: 0.611558 0.908289 1.104031 0.908289 0.611558 0.580894 0.780518 0.892041 0.780518 0.580894 0.544331 0.662539 0.707107 0.662539 0.544331 0.580894 0.780518 0.892041 0.780518 0.580894 0.611558 0.908289 1.104031 0.908289 0.611558 Plano z = zMax: 0.611558 0.908289 1.104031 0.908289 0.611558 0.580894 0.780518 0.892041 0.780518 0.580894 0.544331 0.662539 0.707107 0.662539 0.544331 0.580894 0.780518 0.892041 0.780518 0.580894 0.611558 0.908289 1.104031 0.908289 0.611558
  3. Faça um programa que dado um ponto ($x,y,z$) qualquer retorne os índices ($i,j,k$) do elemento da matriz mais próximo.
    4. Console: Para N = 5, xMin = yMin = zMin = -1, xMax = yMax = zMax = 1: -1.00,-1.00,-1.00 -> 0,0,0 0.00,0.00,0.00 -> 2,2,2 1.00,1.00,1.00 -> 4,4,4 -10.00,0.00,10.00 -> 0,2,4 x,y,z aleatórios entre -1 e 1: -0.21,0.37,-0.34 -> 2,3,1 -0.45,0.98,-0.60 -> 1,4,1 -0.47,-0.85,0.30 -> 1,0,3 0.54,0.30,0.31 -> 3,3,3 -0.78,0.30,0.91 -> 0,3,4
  4. A lista de valores que segue apresenta o módulo de um campo elétrico em uma região cúbica do espaço em intervalos regulares para $x$, $y$ e $z$. Imagine que poderiam ter sido medidos experimentalmente com uma mesa $xyz$, e que a varredura foi feita em 5 × 5 × 5 = 125 pontos regularmente espaçados nas três dimensões, centrados na origem. Por exemplo, comece no plano $z$ = −1 e meça os valores do campo ao longo do eixo $x$ ($x$ = −1, −0,5, 0, 0,5 e 1) para $y$ = −1, depois o mesmo para $y$ = −0,5, depois para $y$ = 0 e assim por diante, até $y$ = 1; mude a posição $z$ para −0,5, repita o processo, e depois para $z$ = 0 e etc.
    5. 34.43, 3.92, 2.54, 3.92, 34.43, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 2.54, 2.37, 2.23, 2.37, 2.54, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 34.43, 3.92, 2.54, 3.92, 34.43, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 2.82, 2.52, 2.32, 2.52, 2.82, 2.37, 2.32, 2.24, 2.32, 2.37, 2.82, 2.52, 2.32, 2.52, 2.82, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 2.54, 2.37, 2.23, 2.37, 2.54, 2.37, 2.32, 2.24, 2.32, 2.37, 2.23, 2.24, 2.20, 2.24, 2.23, 2.37, 2.32, 2.24, 2.32, 2.37, 2.54, 2.37, 2.23, 2.37, 2.54, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 2.82, 2.52, 2.32, 2.52, 2.82, 2.37, 2.32, 2.24, 2.32, 2.37, 2.82, 2.52, 2.32, 2.52, 2.82, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 34.43, 3.92, 2.54, 3.92, 34.43, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 2.54, 2.37, 2.23, 2.37, 2.54, 3.92, 2.82, 2.37, 2.82, 3.92, 34.43, 3.92, 2.54, 3.92, 34.43

    Copie e utilize esses valores para criar uma matriz unidimensional de comprimento $m$ = 125 e a partir dela preencher a matriz tridimensional explorada na proposta desse exercício (isto é: a partir da posição $m$ do valor do módulo do campo na lista, calcule os valores de $i$, $j$ e $k$ do elemento correspondente sabendo que a matriz é $N \times N \times N$).

    O resultado abaixo mostra os valores para os planos $x = 0$, $y = 0$ e $z = 0$. Os resultados para os três planos são os mesmos porque os cálculos utilizaram oito cargas iguais colocadas próximas aos vértices do cubo (mas fora do volume considerado), simetricamente.

    Console: 2.535898 2.373870 2.231742 2.373870 2.535898 2.373870 2.320748 2.242062 2.320748 2.373870 2.231742 2.242062 2.203857 2.242062 2.231742 2.373870 2.320748 2.242062 2.320748 2.373870 2.535898 2.373870 2.231742 2.373870 2.535898