Notebook 12
Fragmentação de um objeto, md array

Considere um objeto de massa $m$ inicialmente em repouso. O objeto tem algum mecanismo de liberação de energia interna (uma mola, explosivos etc.) que o faz partir-se em dois fragmentos. Os fragmentos têm massas $m_1$ e $m_2$, tais que $m_1 + m_2 = m$, e velocidades $v_{x1}$ e $v_{x2}$ e o momento linear total é conservado.($m_1 v_{x1} + m_2 v_{x2} = 0$).

O script deste documento sorteia valores para as massas e para a componente $x$ de uma das velocidades, calculando a outra utilizando a conservação do momento linear. Os dados são organizados em uma matriz bidimensional, cujo primeiro índice refere-se ao fragmento e o segundo às suas propriedades ([0]: velocidade, [1]: massa). O script calcula e apresenta as informações sorteadas e calcula o momento linear e a energia cinética total do sistema.

Exercícios

1. Modifique o programa de modo que calcule a posição dos fragmentos após 1 unidade de tempo (assumindo posição inicial $x$ =0), bem como a distância entre elas.
Console: Posições: (2) [0.8263973023712374, -0.20204709052508313] Distância: 1.0284443928963205
2. A energia cinética final total varia a cada lançamento. Modifique o programa de modo a fazer com que a energia total final dos fragmentos seja sempre a mesma (isto é, que a energia interna antes da separação seja sempre a mesma).

   Para resolver esse problema considere a conservação do momento (o momento total inicial é nulo) e a equação para a energia total (a soma das energias dos fragmentos é um valor arbitrário, 1, por exemplo).

   Da conservação do momento escrevemos $v_2$ em função de $v_1$ e das massas sorteadas:

   $$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 $$ $$ v_2 = -\frac{m_1}{m_2} v_1 $$

   A energia cinética total após a separação é dada por:

   $$ E = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 $$

   Substituindo nesta equação $v_2$ dado em função de $v_1$ obtém-se $v_1$ e a partir dela $v_2$:

   $$ E = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \left(-\frac{m_1}{m_2} v_1\right)^2 $$ $$ v_1 = \sqrt{\frac{2E}{m_1\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)}} $$ $$ v_2 = -\frac{m_1}{m_2} v_1 $$
Console: fragmentos: (2) [Array(2), Array(2)] 0: (2) [1.4512862894966039, 0.48706455251176206] 1: (2) [-1.3780878483277919, 0.5129354474882379] momento total: 0 energia cinética total: 0.9999999999999998
3. Modifique o programa de modo que inclua nos cálculos e na estrutura de dados final (a matriz frags) as velocidades nas outras duas direções ($v_y$ e $v_z$) e calcule e apresente o momento e a energia cinética de cada fragmento, bem como o momento e a energia cinética final.

   As velocidades das outras duas componentes podem ser armazenadas na estrutura de dados bidimensional acrescentando-se outros índices ([0]: $v_x$, [1]: $v_y$, [2]: $v_z$, [3]: $m$) ou sub-índices para a velocidade ([0][1]: $v_x$, [0][2]: $v_y$, [0][3]: $v_z$, [1]: $m$)

   Um comentário que não precisa ser levado em conta na resolução da questão: no caso da fragmentação em duas partículas, que sempre saem ao longo da mesma linha em direções opostas, uma estratégia seria sortear dois ângulos que definem a orientação dessa linha em relação ao sistema de coordenadas e calcular as projeções das velocidades neste sistema. Entretanto, visando a generalização do problema para mais do que duas partículas, talvez valha a pena pensar em uma solução considerando, de início, as componentes da velocidade de cada partícula explicitamente.

   Console: (Uma possibilidade de organização dos dados) (2) [Array(2), Array(2)] 0: Array(2) 0: Array(3) 0: 0.5567372446533094 1: 0.24244808762193815 2: 0.7089921259750769 1: Array(2) 0: Array(3) 0: -0.567308507966802 1: -0.2470516642619387 2: -0.7224543876125981
4. Desafio opcional: você consegue generalizar esse programa para um número arbitrário de fragmentos?